Упр.741 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Начертите два неколлинеарных вектора $$a$$ и $$b$$. Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором $$a$$; б) сонаправленных с вектором $$b$$; в) противоположно направленных вектору $$b$$; г) противоположно направленных вектору $$a$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$r$$ — её радиус, $$A$$ — данная точка, причём $$AO<r$$. Проведём через точку $$A$$ произвольную прямую $$a$$ и опустим из центра $$O$$ перпендикуляр $$OC$$ на эту прямую.

Тогда $$OC$$ — расстояние от точки $$O$$ до прямой $$a$$. В прямоугольном треугольнике $$AOC$$ имеем:

$$OC<AO<r.$$

Значит, расстояние от центра окружности до прямой $$a$$ меньше радиуса окружности. Следовательно, прямая $$a$$ пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей.

Так как прямая $$a$$ была выбрана произвольно, любая прямая, проходящая через точку $$A$$, является секущей по отношению к данной окружности.