Упр.737 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

1) Построение окружности с центром O относительно прямой a.

Проведём через точку O перпендикуляр к прямой a и обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой a через H. Тогда $$OH$$ — расстояние от центра окружности до прямой a.

а) Чтобы окружность не имела общих точек с прямой a, нужно взять радиус меньше расстояния от центра до прямой: $$r<OH.$$

б) Чтобы окружность пересекалась с прямой a в двух точках, нужно взять радиус больше этого расстояния: $$r>OH.$$

в) Чтобы окружность касалась прямой a, нужно взять радиус, равный расстоянию от центра до прямой: $$r=OH.$$

2) Построение окружности, проходящей через точку A и касающейся двух параллельных прямых.

Пусть данные параллельные прямые пересекаются с перпендикуляром, проведённым через точку A, в точках E и M. Построим середину отрезка $$EM$$ и обозначим её через E₁. Тогда прямая, проходящая через E₁ и перпендикулярная данным прямым, является серединным перпендикуляром к $$EM$$.

Построим окружность с центром A и радиусом $$AE_1$$. Она пересечёт серединный перпендикуляр к $$EM$$ в точке O. Тогда $$OE=OM$$, а значит, окружность с центром O и радиусом $$OE$$ проходит через точку A и касается обеих параллельных прямых.

Искомая окружность — $$\bigl(O;OE\bigr).$$

Ответ

а) $$r<OH$$; б) $$r>OH$$; в) $$r=OH$$.
Для второй задачи: построить перпендикуляр к параллельным прямым через $$A$$, найти точки пересечения $$E$$ и $$M$$, середину $$E_1$$ отрезка $$EM$$, затем центр $$O$$ на серединном перпендикуляре к $$EM$$ так, чтобы $$OA=OE_1$$; искомая окружность — $$\bigl(O;OE\bigr).$$