Упр.735 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
2. В трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$ можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть трапеция $$ABCD$$ описана около окружности, а её основания равны $$AD=a$$ и $$BC=b$$. Тогда для четырёхугольника, около которого можно описать окружность, выполняется свойство:

$$AB+CD=AD+BC=a+b.$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, значит

$$AB=CD=\frac{a+b}{2}.$$

Проведём высоты $$BE$$ и $$CF$$. Тогда $$BE=CF$$, а прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CFD$$ равны, поэтому

$$AE=FD=\frac{AD-EF}{2}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{a-b}{2}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABE$$:

$$BE^2=AB^2-AE^2$$
$$BE^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$
$$BE^2=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{4} =ab.$$

Следовательно,

$$BE=\sqrt{ab}.$$

Так как окружность вписана в трапецию, её радиус равен половине высоты трапеции:

$$BE=2r.$$

Тогда

$$r=\frac{BE}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$

Ответ: $$r=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$