Упр.734 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна ab/c. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Обозначим данный параллелограмм через $$ABCD$$.

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, в параллелограмме равны соседние стороны, значит это ромб.

Если около параллелограмма можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому

$$\angle A=\angle C,$$

а значит

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Следовательно, все углы параллелограмма прямые, то есть это прямоугольник.

Итак, данный параллелограмм одновременно является и ромбом, и прямоугольником. Значит, все его стороны равны и все углы прямые, то есть это квадрат.

Ответ

Если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.