Упр.734 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Постройте отрезок, длина которого равна $$\frac{ab}{c}$$.
2. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм.

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, параллелограмм является ромбом.

Если около параллелограмма можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$. В параллелограмме противоположные углы равны, значит

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle A+\angle C=180^\circ.$$

Отсюда

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Значит, все углы параллелограмма прямые, то есть это прямоугольник.

Итак, данный параллелограмм одновременно является и ромбом, и прямоугольником. Следовательно, это квадрат.

Ответ

Параллелограмм — квадрат.