Упр.733 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в два раза больше площади треугольника $$ABC$$.
2. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен $$10\ \text{см}$$.

Пусть $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC.$$ Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2.$$

По условию $$S_{A_1B_1C_1}=2S_{ABC},$$ значит

$$k^2=2,\qquad k=\sqrt{2}.$$

Следовательно, нужно построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия $$\sqrt{2}$$, то есть

$$A_1B_1=\sqrt{2}\,AB,\qquad B_1C_1=\sqrt{2}\,BC,\qquad A_1C_1=\sqrt{2}\,AC.$$

Построение:

1. Построим на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ квадраты.
2. Проведём диагонали этих квадратов, выходящие из точки $$A$$. Их длины равны $$\sqrt{2}\,AB$$ и $$\sqrt{2}\,AC$$.
3. На лучах, соответствующих сторонам $$AB$$ и $$AC$$, отложим от точки $$A_1$$ отрезки $$A_1B_1=\sqrt{2}\,AB$$ и $$A_1C_1=\sqrt{2}\,AC$$.
4. Соединим точки $$B_1$$ и $$C_1$$.

Получим треугольник $$A_1B_1C_1,$$ подобный треугольнику $$ABC$$ и имеющий площадь в 2 раза больше.

Ответ

Коэффициент подобия равен $$\sqrt{2}$$; треугольник строится с увеличением всех сторон в $$\sqrt{2}$$ раза.