Упр.732 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, если $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$$, где $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы треугольников.
2. Задание учебника 2023 года. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ из точки $$M$$ стороны $$AC$$ проведён перпендикуляр $$MH$$ к гипотенузе $$AB$$. Докажите, что углы $$MHC$$ и $$MBC$$ равны.

Рассмотрим четырёхугольник $$BCMH$$.

Так как $$\angle C=90^\circ$$ и $$MH\perp AB$$, а точки $$B,H,A$$ лежат на одной прямой, то $$\angle BHC=90^\circ$$. Следовательно,

$$\angle BCH+\angle BMH=180^\circ.$$

Значит, вокруг четырёхугольника $$BCMH$$ можно описать окружность.

Тогда углы $$\angle MHC$$ и $$\angle MBC$$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $$MC$$. Поэтому

$$\angle MHC=\angle MBC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle MHC=\angle MBC.$$