Упр.731 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание $$AD$$ равнобедренной трапеции $$ABCD$$ в 5 раз больше основания $$BC$$. Высота $$BH$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$M$$, площадь треугольника $$AMH$$ равна $$4\ \text{см}^2$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.
- Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
Проведём через точку $$C$$ прямую $$CK \perp AD$$. Тогда $$HK = BC$$, так как $$BC \parallel AD$$.
Так как трапеция равнобедренная и $$AD = 5BC$$, то
$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{5BC-BC}{2}=2BC,$$
откуда
$$\frac{AH}{BC}=2.$$
Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM$$.
У них $$\angle AMH=\angle CMB$$ как вертикальные, а $$\angle A=\angle C$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$.
Значит, $$\triangle AMH \sim \triangle CBM,$$ поэтому
$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=2.$$
Следовательно, $$MH=2MB,$$ а значит
$$BH=MH+MB=\frac{3}{2}MH.$$
По условию
$$S_{AMH}=\frac{1}{2}\cdot AH \cdot MH=4.$$
Так как $$AH=2BC,$$ получаем
$$BC\cdot MH=4.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.$$
Подставим $$AD=5BC$$ и $$BH=\frac{3}{2}MH$$:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(5BC+BC)\cdot \frac{3}{2}MH=4{,}5\cdot BC\cdot MH.$$
Так как $$BC\cdot MH=4,$$ то
$$S_{ABCD}=4{,}5\cdot 4=18.$$
Ответ: $$18\text{ см}^2$$.
