Упр.731 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите площадь трапеции ABCD. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.

Подробный ответ

Пусть $$AD=5BC.$$ Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK$$ на прямую $$AD.$$ Тогда $$HK=BC,$$ так как $$BC \parallel AD$$ и $$BCHK$$ — прямоугольник.

Тогда

$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{5BC-BC}{2}=2BC,$$

откуда

$$\frac{AH}{BC}=2.$$

Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM.$$ У них

$$\angle AMH=\angle CMB$$ — вертикальные, а $$\angle A=\angle C$$ как углы при основании равнобедренной трапеции. Значит, $$\triangle AMH \sim \triangle CBM$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=2,$$

следовательно, $$MH=2MB$$ и потому

$$BH=MH+MB=3MB=\frac{3}{2}MH.$$

По условию

$$S_{AMH}=\frac{1}{2}\cdot AH \cdot MH=4.$$

Так как $$AH=2BC,$$ то

$$BC\cdot MH=4.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.$$

Подставим $$AD=5BC$$ и $$BH=\frac{3}{2}MH$$:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(5BC+BC)\cdot \frac{3}{2}MH=4{,}5\cdot BC\cdot MH.$$

Так как $$BC\cdot MH=4,$$ получаем

$$S_{ABCD}=4{,}5\cdot 4=18\text{ см}^2.$$

Докажем, что около четырёхугольника, образованного биссектрисами углов трапеции, можно описать окружность.

Пусть биссектрисы углов $$M$$ и $$E$$ пересекаются в точке $$A,$$ а биссектрисы углов $$N$$ и $$F$$ — в точке $$C.$$ Тогда $$MEFN$$ — трапеция, значит, $$EF \parallel MN,$$ и поэтому

$$\angle M+\angle E=180^\circ.$$

Биссектрисы делят эти углы пополам, значит, если обозначить половины углов через $$x$$ и $$y,$$ то

$$2x+2y=180^\circ,$$

откуда

$$x+y=90^\circ.$$

Следовательно, угол между биссектрисами равен $$90^\circ,$$ то есть

$$\angle MAE=90^\circ.$$

Аналогично получаем

$$\angle NCD=90^\circ.$$

Теперь в четырёхугольнике $$ABCD$$ сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Значит,