Упр.730 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
- Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла $$AOB$$ и пересекающиеся в точке $$C$$ внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника $$ACBO$$ можно описать окружность.
Пусть $$M$$, $$P$$, $$O$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, а $$E$$ — точка пересечения медиан.
Тогда $$AP$$, $$BO$$ и $$CM$$ — медианы, значит
$$BP=PC,\quad AO=OC,\quad AM=MB.$$
Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$.
Так как у треугольников $$ABO$$ и $$OBC$$ общая высота, опущенная из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$, а основания равны $$AO=OC$$, то
$$S_{ABO}=S_{OBC}=\frac{S}{2}.$$
Аналогично, у треугольников $$ABP$$ и $$APC$$ общая высота, опущенная из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, и $$BP=PC$$, значит
$$S_{ABP}=S_{APC}=\frac{S}{2}.$$
Точно так же, поскольку $$AM=MB$$, получаем
$$S_{AMC}=S_{MBC}=\frac{S}{2}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$ABP$$. Он состоит из треугольников $$AEM$$, $$BME$$ и $$EPC$$, а треугольник $$AMC$$ — из треугольников $$AEM$$, $$AEC$$ и $$EPC$$. Из равенства площадей соответствующих больших треугольников следует, что
$$S_{AEM}=S_{EPC}.$$
Аналогично, из равенств площадей треугольников с общей высотой и равными основаниями получаем
$$S_{AEM}=S_{BME},\quad S_{AEC}=S_{COE},\quad S_{BME}=S_{EPC}.$$
Следовательно, площади всех шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник, попарно равны:
$$S_{AEM}=S_{BME}=S_{COE}=S_{EPC}=S_{AEC}=S_{BEO}.$$
Ответ: медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников попарно равных площадей.
