Упр.729 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, $$\angle ACD=90^\circ$$, $$ВС=4\text{ см}$$, $$AD=16\text{ см}$$. Найдите углы C и D трапеции.
2. Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, а по условию $$\angle ACD=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$. У них

$$\angle ABC=\angle ACD=90^\circ,$$

а также $$\angle BCA=\angle CAD$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{BC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{16}{AC}=\frac{AC}{4}.$$

Отсюда

$$AC^2=16\cdot 4=64,$$

значит, $$AC=8$$ см.

Теперь найдём высоту $$CH$$, опущенную из точки $$C$$ на основание $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.$$

Так как $$AD=16$$ см, а $$AH=BC=4$$ см, то

$$HD=AD-AH=16-4=12.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$ имеем:

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}.$$

Сравним:

$$CH=4\sqrt{3}, \qquad \frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$

Значит, $$CH=\frac{1}{2}CD$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$CHD$$ угол при $$D$$ равен $$30^\circ$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то односторонние углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Тогда

$$\angle D=30^\circ.$$

Ответ: $$\angle C=150^\circ,\ \angle D=30^\circ.$$