Упр.728 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что АК = 1/4KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см2. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Подробный ответ

Обозначим площадь треугольника $$APK$$ через $$S_{APK}=1\text{ см}^2$$.

Рассмотрим треугольники $$APK$$ и $$CBP$$. У них:

$$\angle APK=\angle CPB$$ как вертикальные;
$$\angle AKP=\angle CBP$$, так как $$AK \parallel BC$$, а точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, значит соответствующие углы равны.

Следовательно, $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{BP}{PK}=\frac{BC}{AK}.$$

По условию $$AK=\frac14 KD$$, а значит

$$AK=\frac15 AD.$$

В параллелограмме $$AD=BC$$, поэтому

$$\frac{BC}{AK}=5,$$

следовательно,

$$\frac{BP}{PK}=5.$$

Треугольники $$APK$$ и $$APB$$ имеют общую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BK$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{APB}}{S_{APK}}=\frac{BP}{PK}=5.$$

Тогда

$$S_{APB}=5\cdot 1=5\text{ см}^2.$$

Так как $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$ с коэффициентом подобия $$5$$, то отношение площадей равно квадрату коэффициента:

$$\frac{S_{CBP}}{S_{APK}}=5^2=25,$$

значит

$$S_{CBP}=25\text{ см}^2.$$

Диагональ $$AC$$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, поэтому

$$S_{ABC}=S_{APB}+S_{CBP}=5+25=30\text{ см}^2.$$

Тогда площадь параллелограмма равна

$$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 30=60\text{ см}^2.$$

Докажем второе утверждение. Пусть около ромба $$ABCD$$ можно описать окружность. Тогда в вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Но в ромбе противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Следовательно,

$$2\angle A=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=90^\circ.$$

Аналогично все углы ромба равны $$90^\circ$$, значит ромб является квадратом.