Упр.728 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$AK=\frac{1}{4}KD$$. Диагональ $$AC$$ и отрезок $$BK$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если площадь треугольника $$APK$$ равна $$1\text{ см}^2$$.
2. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$, около которого можно описать окружность.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

Но в ромбе противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Тогда из равенства $$\angle A+\angle C=180^\circ$$ получаем:

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Аналогично:

$$\angle B=90^\circ,\qquad \angle C=90^\circ,\qquad \angle D=90^\circ.$$

Следовательно, все углы ромба прямые, значит $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ

Если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.