Упр.726 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$ ($$AB \ne AC$$) через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD = CE$$.
Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$BD$$ — медиана, на которой лежит точка $$O$$.

Тогда прямая $$BD$$ проходит через центр окружности и середину хорды $$AC$$, значит $$BD$$ является серединным перпендикуляром к $$AC$$. Следовательно,

$$AD=DC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

$$BD$$ — общая сторона,

$$AD=DC,$$

$$\angle ADB=\angle CDB=90^\circ,$$

так как $$BD$$ — серединный перпендикуляр к $$AC$$.

Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум катетам. Отсюда

$$AB=BC.$$

Итак, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Если же центр описанной окружности лежит на медиане, проведённой к стороне $$AB$$, то эта медиана является серединным перпендикуляром к $$AB$$. Тогда соответствующие треугольники с вершиной на окружности дают равенство двух сторон, и треугольник снова оказывается равнобедренным. В случае, когда центр описанной окружности лежит на медиане и при этом эта медиана является также высотой, получаем прямоугольный треугольник.

Следовательно, треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.