Упр.726 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Подробный ответ

а) Обозначим середину стороны $$BC$$ через $$K$$. По условию через точку $$K$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\frac{AB}{A_1B}=\frac{AC}{A_1C}.$$

Рассмотрим треугольники $$DBK$$ и $$BAA_1$$. У них:

$$\angle B$$ — общий, а $$\angle D=\angle A$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$DK \parallel AA_1$$.

Следовательно, $$\triangle DBK \sim \triangle BAA_1$$, откуда

$$\frac{BD}{BA}=\frac{BK}{A_1B}.$$

Значит,

$$BD=BK\cdot \frac{AB}{A_1B}.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$AA_1C$$ и $$EKC$$. У них:

$$\angle C$$ — общий, а $$\angle E=\angle A$$ как соответственные углы при $$EK \parallel AA_1$$.

Следовательно, $$\triangle AA_1C \sim \triangle EKC$$, откуда

$$\frac{AC}{KC}=\frac{AC}{EC}$$

и, значит,

$$EC=KC\cdot \frac{AC}{A_1C}.$$

Так как $$K$$ — середина $$BC$$, то $$BK=KC$$. Кроме того, из свойства биссектрисы

$$\frac{AB}{A_1B}=\frac{AC}{A_1C}.$$

Тогда

$$BD=BK\cdot \frac{AB}{A_1B}=KC\cdot \frac{AC}{A_1C}=EC.$$

Следовательно, $$BD=CE$$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, и по условию он лежит на медиане $$BD$$. Тогда прямая $$BD$$ проходит через центр окружности и середину хорды $$AC$$, значит, $$BD$$ является серединным перпендикуляром к $$AC$$.

Отсюда

$$\angle ADB=\angle CDB=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$. У них:

$$AD=DC$$, $$BD$$ — общий катет.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум катетам, значит,

$$AB=BC.$$

Итак, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Если же центр описанной окружности лежит на медиане, проведённой к стороне, как на диаметре окружности, то соответствующий угол опирается на диаметр и равен $$90^\circ$$. В этом случае треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Итак, треугольник $$ABC$$ либо равнобедренный, либо прямоугольный.