Упр.725 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$ треугольника $$ABC$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$.

Проведём высоту $$CH$$, где $$CH=2r$$.

Так как четырёхугольник вписанный, то суммы противоположных сторон равны:

$$CD+BA=BC+AD.$$

Обозначим $$BC=a$$, $$AD=b$$. Тогда

$$CD=BA+a+b.$$

Но в прямоугольной трапеции $$AB=CH=2r$$, значит

$$CD=a+b+2r.$$

Теперь по теореме Пифагора для треугольника с катетами $$CH$$ и $$HD$$:

$$CD^2=CH^2+HD^2.$$

Так как $$HD=AD-BC=b-a$$, получаем

$$\left(a+b+2r\right)^2=(2r)^2+(b-a)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+2ab+b^2+4r(a+b)+4r^2=4r^2+b^2-2ab+a^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2ab+4r(a+b)=-2ab.$$

Отсюда

$$4ab+4r(a+b)=0,$$

$$r(a+b)=ab,$$

$$r=\frac{ab}{a+b}.$$

Ответ: $$\frac{ab}{a+b}$$.