Упр.724 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
- Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Решение
Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено
$$AB+CD=BC+AD.$$
Докажем, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон $$AD$$, $$AB$$ и $$BC$$, значит, через неё можно провести окружность, касающуюся этих трёх сторон.
Докажем, что эта окружность касается и стороны $$CD$$.
Предположим противное. Тогда прямая $$CD$$ либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай. Проведём касательную $$C’D’$$, параллельную стороне $$CD$$. Тогда четырёхугольник $$ABC’D’$$ — описанный, поэтому
$$AB+C’D’=BC’+AD’.$$
Так как $$BC’=BC+C’C$$, а $$AD’=AD+D’D$$, то
$$AB+C’D’=BC+C’C+AD+D’D.$$
С другой стороны, из параллельности $$C’D’ \parallel CD$$ получаем
$$C’D’+C’C+D’D=CD.$$
Подставляя это в равенство выше, имеем
$$AB+CD=BC+AD,$$
что совпадает с условием. Значит, предположение не приводит к противоречию только в случае, когда $$CD$$ является касательной к окружности.
Аналогично исключается и случай, когда $$CD$$ — секущая. Следовательно, прямая $$CD$$ тоже касается этой окружности.
Итак, окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника $$ABCD$$, значит, в него можно вписать окружность.
Ответ
В четырёхугольник можно вписать окружность.
