Упр.723 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Подробный ответ

1) Если $$ABCD$$ — ромб, а $$M, N, P, Q$$ — середины его сторон, то докажем, что $$MNPQ$$ — прямоугольник.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$DC$$ и $$AD$$, то $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Значит,

$$PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC.$$

Отсюда $$MN \parallel PQ$$ и $$MN=PQ$$.

Аналогично, в треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, поэтому

$$MQ \parallel BD,\qquad MQ=\frac12 BD.$$

В треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит

$$NP \parallel BD,\qquad NP=\frac12 BD.$$

Следовательно, $$MQ \parallel NP$$ и $$MQ=NP$$.

Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Теперь заметим, что в ромбе диагонали перпендикулярны:

$$AC \perp BD.$$

Так как $$MN \parallel AC$$ и $$MQ \parallel BD$$, то

$$MN \perp MQ.$$

Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Значит, $$MNPQ$$ — прямоугольник.

2) Если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$BC \parallel AD$$, а окружность касается прямых $$BC$$ и $$AD$$ в точках $$E$$ и $$N$$ соответственно. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OE \perp BC,\qquad ON \perp AD.$$

Так как $$BC \parallel AD$$, то прямые $$OE$$ и $$ON$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям трапеции. Значит, точки $$E, O, N$$ коллинеарны.

Пусть $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$. Тогда $$FK$$ — средняя линия трапеции, поэтому

$$FK \parallel BC \parallel AD.$$

Следовательно, прямая $$FK$$ перпендикулярна $$OE$$ и $$ON$$. Так как $$O$$ лежит на прямой, проходящей через середины оснований, то эта прямая пересекает среднюю линию трапеции в точке $$O$$. Значит, $$O \in FK$$.

Итак, прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр окружности.