Упр.723 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Подробный ответ

1) Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Пусть $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$AD$$ соответственно.

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$

В треугольнике $$ADC$$ точки $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$CD$$ и $$AD$$, значит, $$PQ$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC.$$

Следовательно, $$MN \parallel PQ$$ и $$MN=PQ$$.

В треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит, $$MQ$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$MQ \parallel BD,\qquad MQ=\frac12 BD.$$

В треугольнике $$BCD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, значит, $$NP$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$NP \parallel BD,\qquad NP=\frac12 BD.$$

Следовательно, $$MQ \parallel NP$$ и $$MQ=NP$$.

Значит, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

У ромба диагонали перпендикулярны, то есть $$AC \perp BD$$. Так как $$MN \parallel AC$$, а $$MQ \parallel BD$$, получаем

$$MN \perp MQ.$$

Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Значит, $$MNPQ$$ — прямоугольник.

2) Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$BC$$ и $$AD$$ касаются окружности, а $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$. Обозначим центр окружности через $$O$$.

Так как $$BC$$ — касательная к окружности, то радиус, проведённый в точку касания $$E$$, перпендикулярен касательной:

$$OE \perp BC.$$

Аналогично, так как $$AD$$ — касательная, то

$$ON \perp AD,$$

где $$N$$ — точка касания на прямой $$AD$$.

Поскольку $$BC \parallel AD$$, то прямые $$OE$$ и $$ON$$ перпендикулярны одной и той же прямой, значит, $$OE \parallel ON$$. Через точку $$O$$ проходит единственная прямая, перпендикулярная основаниям, поэтому точки $$E$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, проходящей через центр окружности.

Теперь рассмотрим трапецию $$ABCD$$. Отрезок $$FK$$, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции, значит,

$$FK \parallel BC \parallel AD.$$

Пусть прямая $$EN$$ пересекает боковые стороны трапеции в точках $$F$$ и $$K$$. Тогда по теореме Фалеса, так как $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон, прямая $$EN$$ проходит через середины этих сторон. Следовательно, точки $$F$$, $$O$$ и $$K$$ лежат на одной прямой, то есть

$$O \in FK.$$

Значит, прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр окружности.