Упр.722 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
2. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$. Известно, что $$AB:CD=2:3$$, $$AD:BC=2:1$$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $$S$$.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Пусть $$AB=2x,$$ $$CD=3x.$$ Тогда

$$AB+CD=5x.$$

По условию $$AB:CD=2:3,$$ значит это действительно можно записать в таком виде.

Аналогично пусть $$AD=2y,$$ $$BC=y,$$ так как $$AD:BC=2:1.$$ Тогда

$$BC+AD=3y.$$

Из равенства сумм противоположных сторон получаем

$$5x=3y.$$

Площадь описанного четырёхугольника выражается формулой

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности. Поэтому

$$P=2S/r,$$

а значит

$$AB+BC+CD+AD=\frac{2S}{r}.$$

Но

$$AB+CD=BC+AD,$$

следовательно, каждая из этих сумм равна половине периметра:

$$AB+CD=BC+AD=\frac{S}{r}.$$

Тогда

$$5x=\frac{S}{r}, \qquad 3y=\frac{S}{r}.$$

Отсюда

$$x=\frac{S}{5r}, \qquad y=\frac{S}{3r}.$$

Следовательно,

$$AB=2x=\frac{2S}{5r}, \qquad CD=3x=\frac{3S}{5r},$$

$$BC=y=\frac{S}{3r}, \qquad AD=2y=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ: $$AB=\frac{2S}{5r},\; CD=\frac{3S}{5r},\; BC=\frac{S}{3r},\; AD=\frac{2S}{3r}.$$