Упр.721 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$.
2. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Пусть в прямоугольник $$ABCD$$ вписана окружность. Тогда все стороны прямоугольника касаются окружности.

По свойству четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в прямоугольнике $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда

$$AB+AB=BC+BC,$$

откуда

$$2AB=2BC,$$

значит,

$$AB=BC.$$

Следовательно, у прямоугольника все стороны равны, то есть $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.