Упр.720 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$. Тогда $$AB \parallel DC$$, $$AD \perp AB$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ взаимно перпендикулярны.

1) Найдём диагональ $$BD$$ из прямоугольного треугольника $$ADB$$:

$$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$

2) Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$. Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$ подобны: $$\angle D= \angle A=90^\circ$$, а также $$\angle ADB=\angle ACD$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{DC}{AD}=\frac{AD}{BA}.$$

Тогда

$$\frac{DC}{4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$

откуда

$$DC=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$

3) Найдём $$AC$$. Из подобия также следует:

$$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BA}=\frac{2}{3}.$$

Значит,

$$AC=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{4\sqrt{13}}{3}\text{ см}.$$

4) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{\left(\frac{4\sqrt{13}}{3}\right)^2+6^2}$$

$$=\sqrt{\frac{208}{9}+\frac{324}{9}}=\sqrt{\frac{532}{9}}=\frac{2\sqrt{133}}{3}\text{ см}.$$

5) Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне?

Нет, не может. Если вершина треугольника лежит на серединном перпендикуляре к стороне, то она равноудалена от концов этой стороны. Значит, две стороны треугольника равны. Тогда треугольник не будет разносторонним.

Ответ

$$DC=2\frac{2}{3}\text{ см},\quad BD=2\sqrt{13}\text{ см},\quad BC=\frac{2\sqrt{133}}{3}\text{ см}.$$
Вершина разностороннего треугольника на серединном перпендикуляре к стороне лежать не может.