Упр.72 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
угол AOB=50°;
угол FOE=70°;
Найти:
угол AOC; угол BOD;
угол COE; угол COD;
Решение:
1) Вертикальные:
угол DOE=угол AOB=50°;
угол BOC=угол FOE=70°;
2) Для развернутого угла:
угол FOC=угол FOA+угол AOB+угол BOC;
угол FOC=угол FOA+50°+70°=180°;
угол FOA=180°-120°=60°;
3) Вертикальные:
угол COD=угол FOA=60°;
4) Величины углов:
угол AOC=угол AOB+угол BOC=120°;
угол BOD=угол BOC+угол COD=130°;
угол COE=угол COD+угол DOE=110°;
Ответ: 120°; 130°; 110°; 60°.
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Обозначим прямые так, как на рисунке: одна проходит через точки $$A, O, D$$, другая — через $$B, O, E$$, третья — через $$F, O, C$$.

Так как прямые пересекаются попарно, то углы $$\angle AOB$$ и $$\angle DOE$$ — вертикальные, значит

$$\angle DOE=\angle AOB=50^\circ.$$

Аналогично углы $$\angle FOE$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные, поэтому

$$\angle BOC=\angle FOE=70^\circ.$$

Рассмотрим развернутый угол $$\angle FOD$$:

$$\angle FOD=\angle FOA+\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=180^\circ.$$

Но углы $$\angle FOA$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные, значит они равны. Обозначим их через $$x$$. Тогда

$$x+50^\circ+70^\circ+x=180^\circ,$$

$$2x=60^\circ,$$

$$x=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle COD=30^\circ.$$

Теперь найдём искомые углы:

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=50^\circ+70^\circ=120^\circ,$$

$$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=70^\circ+30^\circ=100^\circ,$$

$$\angle COE=\angle COD+\angle DOE=30^\circ+50^\circ=80^\circ.$$

Угол между прямыми $$AD$$ и $$FC$$ равен углу между лучами $$OD$$ и $$OC$$, то есть

$$\angle COD=30^\circ.$$

Ответ

$$\angle AOC=120^\circ,\ \angle BOD=100^\circ,\ \angle COE=80^\circ,\ \angle(AD,FC)=30^\circ.$$

Для четырёх прямых, каждые две из которых пересекаются, число точек пересечения равно числу пар прямых:

$$C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6.$$

Ответ: $$6$$ точек.