Упр.719 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если:
а) $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$$, где BM и B₁M₁ — медианы треугольников;
б) $$\angle A=\angle A_1$$, $$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}$$, где BH и B₁H₁ — высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁.
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Подробный ответ

а)

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$

По условию

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1},$$

следовательно, $$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

б)

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$. Так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, то

$$\angle BHA=\angle B_1H_1A_1=90^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle A_1$$, значит, $$\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{AH}{A_1H_1}.$$

Из условия также

$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1},$$

следовательно,

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

в)

Пусть через точку $$A$$ проведены секущие $$ABC$$ и $$ADE$$, пересекающие окружность в точках $$B, C$$ и $$D, E$$ соответственно. Тогда угол между секущими равен $$\angle CAE$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$CDEA$$. В нём

$$\angle CAE=180^\circ-(\angle C+\angle D),$$

так как сумма углов треугольника $$CDE$$ равна $$180^\circ$$.

Угол $$\angle C$$ — вписанный, он опирается на дугу $$BD$$, поэтому

$$\angle C=\frac12 \overset{\frown}{BD}.$$

Аналогично, угол $$\angle DCE$$ — вписанный и опирается на дугу $$CE$$, значит

$$\angle DCE=\frac12 \overset{\frown}{CE}.$$

Тогда

$$\angle D=180^\circ-\angle DCE=180^\circ-\frac12 \overset{\frown}{CE}.$$

Подставим в выражение для $$\angle CAE$$:

$$\angle CAE=180^\circ-\left(\frac12 \overset{\frown}{BD}+180^\circ-\frac12 \overset{\frown}{CE}\right) =\frac12\left(\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{BD}\right).$$

Следовательно, угол между секущими равен полуразности дуг, заключённых внутри этого угла.