Упр.718 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Два шеста $$AB$$ и $$CD$$ разной длины $$a$$ и $$b$$ установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы $$A$$ и $$D$$, $$B$$ и $$C$$ соединены верёвками, которые пересекаются в точке $$O$$. По данным рисунка докажите, что: а) $$\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$$ и $$\frac{n}{d}=\frac{x}{a}$$; б) $$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$$. Найдите $$x$$ и докажите, что $$x$$ не зависит от расстояния $$d$$ между шестами $$AB$$ и $$CD$$.
- По данным рисунка 237 докажите, что $$\angle AMB=\frac{1}{2}(\angle CLD+\angle AKB)$$.
Пусть $$AK=m,$$ $$KC=n,$$ $$AC=d,$$ $$OK=x.$$ Тогда $$m+n=d.$$
Ход решения
а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AOK.$$
У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle OKA=\angle DCA=90^\circ.$$ Значит, $$\triangle ADC \sim \triangle AOK$$ по двум углам.
Из подобия получаем:
$$\frac{DC}{OK}=\frac{AC}{AK}.$$
Подставляя обозначения, имеем
$$\frac{b}{x}=\frac{d}{m},$$
откуда
$$\frac{m}{d}=\frac{x}{b}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KOC.$$
У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle BCA=\angle OKC=90^\circ.$$ Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle KOC$$ по двум углам.
Из подобия:
$$\frac{AB}{OK}=\frac{AC}{KC}.$$
Подставляя обозначения, получаем
$$\frac{a}{x}=\frac{d}{n},$$
откуда
$$\frac{n}{d}=\frac{x}{a}.$$
б) Складывая равенства из пункта а), получаем:
$$\frac{m}{d}+\frac{n}{d}=\frac{x}{b}+\frac{x}{a}.$$
Так как $$m+n=d,$$ то
$$\frac{d}{d}=\frac{x}{b}+\frac{x}{a},$$
значит
$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1.$$
Отсюда
$$x\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1,$$
$$x\cdot \frac{a+b}{ab}=1,$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Полученное значение $$x$$ не зависит от расстояния $$d$$ между шестами.
Ответ
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
