Упр.717 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС. Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.

Обозначим через $$O$$ центр окружности. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а $$OA=OB$$.

Рассмотрим углы $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD \parallel BC$$ и секущей $$AB$$, значит

$$\angle DAB=\angle ABC.$$

Кроме того, $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$ — вписанные углы, поэтому

$$\angle DAB=\frac{\overset{\frown}{DB}}{2}, \qquad \angle ABC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}.$$

Из равенства углов получаем

$$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle ADC$$ и $$\angle DCB$$. Это вписанные углы, значит

$$\angle ADC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}, \qquad \angle DCB=\frac{\overset{\frown}{DB}}{2}.$$

Так как $$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}$$, то

$$\angle ADC=\angle DCB.$$

Следовательно, в треугольнике $$DCB$$ равны углы при основании, значит

$$DO=OC.$$

Аналогично из равенства углов $$\angle DAB=\angle ABC$$ получаем равенство соответствующих дуг, а значит и равенство хорд, поэтому

$$AO=OB.$$

Тогда

$$DC=DO+OC=AO+OB=AB.$$

Но $$AB$$ — диаметр окружности, следовательно, хорда $$CD$$ равна диаметру, то есть $$CD$$ — диаметр.

Ответ

$$CD$$ — диаметр.