Упр.717 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Докажите, что медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $$BC$$, концы которого лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$.
- Задание учебника 2023 года. Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны.
Докажем, что $$CD$$ — диаметр.
Рассмотрим углы $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$. Это накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$, значит
$$\angle DAB=\angle ABC.$$
По свойству вписанного угла:
$$\angle DAB=\frac{\overset{\frown}{DB}}{2}, \qquad \angle ABC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}.$$
Следовательно,
$$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}.$$
Теперь рассмотрим углы $$\angle ADC$$ и $$\angle DCB$$. Это вписанные углы, поэтому
$$\angle ADC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}, \qquad \angle DCB=\frac{\overset{\frown}{DB}}{2}.$$
Так как $$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}$$, то
$$\angle ADC=\angle DCB.$$
Значит, в треугольниках $$AOD$$ и $$BOC$$ соответствующие углы равны, поэтому эти треугольники равнобедренные:
$$AO=OD, \qquad OB=OC.$$
Тогда
$$CD=OD+OC=AO+OB=AB.$$
Но $$AB$$ — диаметр окружности, следовательно, хорда $$CD$$ равна диаметру, то есть сама является диаметром.
Ответ
$$CD$$ — диаметр.
