Упр.716 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, делит сторону $$AC$$ в отношении $$2:7$$, считая от вершины $$A$$. Найдите стороны отсечённого треугольника, если $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=18\text{ см}$$, $$CA=21{,}6\text{ см}$$.
2. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности. Докажите, что если $$AB=CD$$, то $$AB=CD$$.

Пусть $$AD=x,$$ тогда $$CD=21{,}6-x.$$

Так как прямая, параллельная стороне $$AB,$$ делит сторону $$AC$$ в отношении $$2:7,$$ считая от вершины $$A,$$ то

$$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{7}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{21{,}6-x}=\frac{2}{7},$$

откуда

$$7x=2(21{,}6-x),$$

$$7x=43{,}2-2x,$$

$$9x=43{,}2,$$

$$x=4{,}8.$$

Значит,

$$AD=4{,}8\text{ см},$$

$$CD=21{,}6-4{,}8=16{,}8\text{ см}.$$

Теперь найдём сторону отсечённого треугольника, параллельную $$AB.$$ Обозначим её через $$ED.$$ Тогда треугольники $$CED$$ и $$CBA$$ подобны, так как $$DE \parallel AB.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{ED}{BA}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{CD}{CA}=\frac{16{,}8}{21{,}6}=\frac{7}{9}.$$

Значит,

$$\frac{ED}{10}=\frac{7}{9},$$

откуда

$$ED=\frac{70}{9}=7\frac{7}{9}\text{ см}.$$

Ответ: $$ED=7\frac{7}{9}\text{ см},\; CD=16{,}8\text{ см},\; CE=14\text{ см}.$$