Упр.714 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АОВ с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС. Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольник $$AOC.$$ Так как $$OM$$ — биссектриса угла $$AOC,$$ то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AM}{MC}=\frac{AO}{OC}.$$

По условию $$AO=OB,$$ а точка $$C$$ лежит на продолжении стороны $$OB$$ за точку $$B,$$ значит $$OC>OB.$$ Следовательно,

$$AO<OC,$$

откуда

$$\frac{AM}{MC}<1.$$

Значит, $$AM<MC.$$

2) Пусть две окружности имеют общую точку $$M$$ и общую касательную в этой точке. Прямая $$AB$$ касается одной окружности в точке $$A,$$ а другой — в точке $$B.$$ Обозначим через $$K$$ точку пересечения прямой $$AB$$ с общей касательной в точке $$M.$$

Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем

$$AK=KM$$

$$BK=KM.$$

Следовательно,

$$AK=BK.$$

Значит, точка $$K$$ — середина отрезка $$AB,$$ а также $$KM$$ — радиус окружности с центром в $$K.$$ Тогда

$$KA=KB=KM=\frac{AB}{2}.$$

Следовательно, точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB.$$