Упр.714 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На продолжении боковой стороны $$ОВ$$ равнобедренного треугольника $$АОВ$$ с основанием $$АВ$$ взята точка $$С$$ так, что точка $$В$$ лежит между точками $$О$$ и $$С$$. Отрезок $$АС$$ пересекает биссектрису угла $$АОВ$$ в точке $$М$$. Докажите, что $$AM < МС$$.
- Две окружности имеют общую точку $$М$$ и общую касательную в этой точке. Прямая $$АВ$$ касается одной окружности в точке $$А$$, а другой — в точке $$В$$. Докажите, что точка $$М$$ лежит на окружности с диаметром $$АВ$$.
1) Если рассматривается первое задание.
Так как $$OM$$ — биссектриса угла $$AOC$$, то по свойству биссектрисы в треугольнике $$AOC$$ имеем
$$\frac{AM}{MC}=\frac{OA}{OC}.$$
Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит $$OA=OB$$. Точка $$C$$ лежит на продолжении стороны $$OB$$ за точку $$B$$, поэтому $$OC>OB$$, а значит
$$OA<OC.$$
Тогда
$$\frac{AM}{MC}=\frac{OA}{OC}<1,$$
следовательно, $$AM<MC$$.
2) Если рассматривается второе задание.
Проведём через точку $$M$$ общую касательную $$a$$ к обеим окружностям и обозначим $$K=a\cap AB$$.
Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:
$$KA=KM$$ и $$KB=KM.$$
Значит,
$$KA=KM=KB.$$
Следовательно, точки $$A$$, $$M$$ и $$B$$ равноудалены от точки $$K$$, то есть лежат на окружности с центром в $$K$$ и радиусом $$KM$$. При этом
$$AB=AK+KB=2KM,$$
поэтому радиус этой окружности равен
$$KM=\frac{AB}{2}.$$
Значит, $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.
