Упр.713 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании. Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
Обозначим точки касания: $$B$$ и $$C$$ — точки касания прямых $$AB$$ и $$AC$$ с окружностью, $$X$$ — произвольная точка дуги $$BC$$. Касательная в точке $$X$$ пересекает $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$.
По свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$BM=MX,\qquad CN=NX.$$
Тогда периметр треугольника $$AMN$$ равен
$$ P_{AMN}=AM+AN+MN. $$
Так как $$M$$ лежит на отрезке $$AB$$, а $$N$$ — на отрезке $$AC$$, то
$$ AM=AB-BM,\qquad AN=AC-CN. $$
Кроме того, точки $$M,X,N$$ лежат на одной прямой, поэтому
$$ MN=MX+XN. $$
Подставим:
$$ \begin{aligned} P_{AMN} &= (AB-BM)+(AC-CN)+(MX+XN) \\ &= AB+AC-(BM-MX)-(CN-XN). \end{aligned} $$
Но $$BM=MX$$ и $$CN=NX$$, значит
$$ P_{AMN}=AB+AC, $$
то есть периметр треугольника $$AMN$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
Теперь докажем, что угол $$MON$$ тоже постоянен.
Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$MOX$$. У них:
$$ OB=OX \quad \text{(радиусы)},\qquad BM=MX \quad \text{(касательные из точки } M\text{)},\qquad OM \text{ — общая сторона}. $$
Следовательно, $$\triangle BOM \cong \triangle MOX$$, откуда
$$ \angle BOM=\angle MOX. $$
Аналогично, из равенства треугольников $$XON$$ и $$NOC$$ получаем
$$ \angle XON=\angle NOC. $$
Тогда
$$ \angle MON=\angle MOX+\angle XON=\angle BOM+\angle NOC. $$
Правая часть не зависит от точки $$X$$, значит и угол $$MON$$ постоянен.
Ответ
$$P_{AMN}=AB+AC$$, $$\angle MON$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
