Упр.713 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как $$4:3$$, а высота, проведённая к основанию, равна $$30\text{ см}$$. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
- Прямые $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Через произвольную точку $$X$$, взятую на дуге $$BC$$, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что периметр треугольника $$AMN$$ и величина угла $$MON$$ не зависят от выбора точки $$X$$ на дуге $$BC$$.
Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC$$, боковые стороны — через $$AB=BC$$. Пусть $$BH$$ — высота, проведённая к основанию, тогда в равнобедренном треугольнике она является и медианой, значит $$AH=HC$$.
По условию $$AC:AB=4:3$$, следовательно, если $$AC=4k$$, то $$AB=BC=3k$$. Тогда
$$AH=\frac{AC}{2}=2k.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Биссектриса угла при основании проходит из точки $$A$$ и пересекает высоту $$BH$$ в точке $$O$$. По свойству биссектрисы в треугольнике $$ABH$$
$$\frac{OH}{OB}=\frac{AH}{AB}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}.$$
Пусть $$OH=x$$, тогда $$OB=30-x$$. Получаем
$$\frac{x}{30-x}=\frac{2}{3}.$$
Решим уравнение:
$$3x=2(30-x),$$
$$3x=60-2x,$$
$$5x=60,$$
$$x=12.$$
Значит,
$$OH=12\text{ см},$$
$$OB=30-12=18\text{ см}.$$
Ответ: $$12\text{ см}$$ и $$18\text{ см}$$.
