Упр.706 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину $$60\ \text{м}$$. Какова ширина насыпи $$60\ \text{м}$$ в нижней её части, если угол наклона откосов равен $$60^\circ$$, а высота насыпи равна $$12\ \text{м}$$ (рис. 209)?
2. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен $$10\ \text{см}$$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$, описанный около окружности радиуса $$r=10$$ см.

Проведём высоту $$BH$$. В равностороннем треугольнике она является также медианой и биссектрисой, значит $$H$$ — середина стороны $$AC$$, а $$AO$$ — биссектриса угла $$A$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOH$$:

$$\angle OAH=\frac{\angle A}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ,$$

$$AO=r=10\text{ см}.$$

Найдём $$AH$$:

$$\cos 30^\circ=\frac{AH}{AO},$$

$$AH=AO\cdot \cos 30^\circ=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{ см}.$$

Так как $$H$$ — середина стороны $$AC$$, то

$$AC=2AH=2\cdot 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$10\sqrt{3}\text{ см}$$.