Упр.704 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом $$a$$ при основании, если:
а) боковая сторона равна $$b$$;
б) основание равно $$a$$. - Окружность с центром $$O$$ описана около прямоугольного треугольника.
а) Докажите, что точка $$O$$ — середина гипотенузы.
б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен $$d$$, а один из острых углов треугольника равен $$a$$.
Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$\angle A=\angle C=\alpha$$. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC$$.
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\sin \alpha=\frac{BH}{AB}, \qquad \cos \alpha=\frac{AH}{AB}.$$
Так как $$AB=BC=b$$, то
$$BH=b\sin \alpha,\qquad AH=b\cos \alpha.$$
В равнобедренном треугольнике высота $$BH$$ является также медианой, значит $$AH=HC$$ и
$$AC=AH+HC=2AH=2b\cos \alpha.$$
Тогда площадь треугольника
$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot 2b\cos \alpha \cdot b\sin \alpha=b^2\sin \alpha \cos \alpha.$$
Если $$AC=a$$, то в равнобедренном треугольнике $$AH=HC=\frac a2$$. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\tg \alpha=\frac{BH}{AH}, \qquad BH=AH \tg \alpha=\frac a2 \tg \alpha.$$
Тогда
$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot a \cdot \frac a2 \tg \alpha=\frac{a^2\tg \alpha}{4}.$$
Ответ: а) $$S=b^2\sin \alpha \cos \alpha$$; б) $$S=\frac{a^2\tg \alpha}{4}$$.
