Упр.703 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС= 102°.

а) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому

$$\tg \angle A=\frac{CB}{AC}=\frac{a}{b}, \qquad \tg \angle B=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}.$$

б) При $$a=12$$, $$b=15$$ получаем:

$$AB=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{144+225}=\sqrt{369}\approx 19{,}2.$$

$$\tg \angle A=\frac{12}{15}=\frac45,$$

$$\tg \angle B=\frac{15}{12}=\frac54.$$

Найдём углы:

$$\angle A \approx 38^\circ 39′,$$

$$\angle B \approx 51^\circ 21′.$$

а) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$BC$$ имеем $$AB=AC$$, значит $$\angle ABC=\angle ACB.$$

Вписанный угол $$\angle BAC$$ опирается на дугу $$BC$$, поэтому

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 102^\circ=51^\circ.$$

Тогда сумма двух равных углов:

$$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-51^\circ}{2}=64^\circ 30′.$$

б) Угол $$\angle BA’C$$ — вписанный, он опирается на дугу $$BC$$, не содержащую точку $$A’$$, то есть на дугу величиной

$$360^\circ-102^\circ=258^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BA’C=\frac{258^\circ}{2}=129^\circ.$$

Так как $$BA’=CA’$$, то $$\angle BCA’=\angle CBA’$$, и

$$\angle BCA’=\angle CBA’=\frac{180^\circ-129^\circ}{2}=25^\circ 30′.$$

Ответ

$$AB=\sqrt{a^2+b^2},\ \tg \angle A=\frac{a}{b},\ \tg \angle B=\frac{b}{a};$$ при $$a=12$$, $$b=15$$: $$AB\approx 19{,}2,$$ $$\tg \angle A=\frac45,$$ $$\tg \angle B=\frac54,$$ $$\angle A\approx 38^\circ 39′,$$ $$\angle B\approx 51^\circ 21′.$

$$\angle BAC=51^\circ,\ \angle ABC=\angle ACB=64^\circ 30′;\ \angle BA’C=129^\circ,\ \angle BCA’=\angle CBA’=25^\circ 30′.$$