Упр.702 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен а. Выразите второй острый угол и катеты через с и а и найдите их значения, если с = 24 см, а а = 35°. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) BC = 134°; б) АС = 70°.

1) В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$ гипотенуза $$AB=c$$, острый угол $$\angle A=\alpha$$. Тогда

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}, \qquad \sin \alpha=\frac{BC}{AB}.$$

Отсюда

$$AC=c\cos \alpha, \qquad BC=c\sin \alpha.$$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $$90^\circ$$, то

$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$

При $$c=24\text{ см}$$ и $$\alpha=35^\circ$$ получаем:

$$\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ,$$

$$BC=24\sin 35^\circ \approx 24\cdot 0{,}5736 \approx 14\text{ см},$$

$$AC=24\cos 35^\circ \approx 24\cdot 0{,}8192 \approx 20\text{ см}.$$

2) Если $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $$90^\circ$$. Значит,

$$\angle ACB=90^\circ.$$

а) Если дуга $$BC=134^\circ$$, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине дуги:

$$\angle CAB=\frac{134^\circ}{2}=67^\circ.$$

Тогда

$$\angle CBA=90^\circ-67^\circ=23^\circ.$$

б) Если дуга $$AC=70^\circ$$, то

$$\angle CBA=\frac{70^\circ}{2}=35^\circ.$$

Тогда

$$\angle CAB=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$$

Ответ

1) $$AC=c\cos \alpha,\; BC=c\sin \alpha,\; \angle B=90^\circ-\alpha.$$ При $$c=24\text{ см},\ \alpha=35^\circ$$: $$\angle B=55^\circ,\ BC=14\text{ см},\ AC=20\text{ см}.$$

2) а) $$\angle ACB=90^\circ,\ \angle CAB=67^\circ,\ \angle CBA=23^\circ.$$ б) $$\angle ACB=90^\circ,\ \angle CAB=55^\circ,\ \angle CBA=35^\circ.$$