Упр.701 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а прилежащий к нему угол равен $$\alpha$$. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $$b$$ и $$\alpha$$. б) Найдите их значения, если $$b=12\ \text{см}$$, $$\alpha=42^\circ$$.
2. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=b$$, $$\angle A=\alpha$$.

а)

По определению тангенса угла:

$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}$$

откуда

$$BC=b\cdot \tg \alpha.$$

По определению косинуса угла:

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}$$

значит

$$AB=\frac{b}{\cos \alpha}.$$

Третий острый угол прямоугольного треугольника равен

$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$

б)

Подставим $$b=12\text{ см}$$, $$\alpha=42^\circ$$:

$$\angle B=90^\circ-42^\circ=48^\circ.$$

$$BC=12\cdot \tg 42^\circ \approx 12\cdot 0{,}9004 \approx 10{,}8\text{ см}.$$

$$AB=\frac{12}{\cos 42^\circ}\approx \frac{12}{0{,}7431}\approx 16{,}15\text{ см}.$$

Ответ: $$BC=b\cdot \tg \alpha,\quad AB=\frac{b}{\cos \alpha},\quad \angle B=90^\circ-\alpha.$$ При $$b=12\text{ см}$$ и $$\alpha=42^\circ$$: $$\angle B=48^\circ,\ BC\approx 10{,}8\text{ см},\ AB\approx 16{,}15\text{ см}.$$