Упр.696 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

1) Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

2) Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны:

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Подставим это в равенство из пункта 1:

$$AB+AB=BC+BC,$$

то есть

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.