Упр.696 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.
2. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для четырёхугольника с вписанной окружностью выполняется свойство:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме противоположные стороны равны:

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Подставим это в равенство:

$$AB+AB=BC+BC,$$

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Так как в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, то получаем

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит, этот параллелограмм — ромб.

Ответ

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.