Упр.693 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
а) Пусть окружность касается катетов в точках $$E$$ и $$F$$, а гипотенузы — в точке $$D$$. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, значит $$OE \perp BC$$, $$OF \perp AC$$, а также $$OE=OF=r=4$$.
Четырёхугольник $$FOEC$$ — квадрат, так как $$\angle OFC=\angle FOE=\angle OEC=\angle ECF=90^\circ$$ и $$FO=OE$$. Следовательно, $$FC=CE=OE=FO=4$$.
По свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:
$$AF=AD,\qquad BD=BE.$$
Тогда периметр треугольника:
$$P_{ABC}=AB+BC+AC=(AD+DB)+(BE+CE)+(AF+FC).$$
Так как $$AD+DB=AB=26$$, а $$BE=AD$$ и $$AF=DB$$, то удобнее записать:
$$P_{ABC}=AB+CE+FC+AB=26+4+4+26=60\text{ см}.$$
б) По свойству касательных:
$$AB=AD+DB=5+12=17\text{ см}.$$
Также
$$AF=AD=5\text{ см},\qquad BE=BD=12\text{ см}.$$
Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$. Тогда
$$AC=AF+r=5+r,\qquad BC=BE+r=12+r.$$
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
$$ (5+r)^2+(12+r)^2=17^2 $$
$$ 25+10r+r^2+144+24r+r^2=289 $$
$$ 2r^2+34r-120=0 $$
$$ r^2+17r-60=0 $$
$$ (r-3)(r+20)=0 $$
Так как $$r>0$$, получаем $$r=3\text{ см}$$.
Тогда
$$AC=5+3=8\text{ см},\qquad BC=12+3=15\text{ см}.$$
Следовательно,
$$P_{ABC}=AB+BC+AC=17+15+8=40\text{ см}.$$
Ответ
а) $$60\text{ см}$$; б) $$40\text{ см}$$.
