Упр.693 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.
2. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса $$r$$. Найдите периметр треугольника, если:
   а) гипотенуза равна 26 см, $$r = 4$$ см;
   б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Пусть окружность вписана в прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Обозначим точку касания на гипотенузе $$AB$$ через $$D$$, а на катетах $$AC$$ и $$BC$$ — через $$F$$ и $$E$$ соответственно.

а)

По свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:

$$AF=AD,\quad BE=BD,\quad CF=CE=r=4\text{ см}.$$

Тогда

$$AB=AD+DB=26\text{ см}.$$

Периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+AC+BC.$$

Но

$$AC=AF+FC=AD+r,$$
$$BC=BE+EC=BD+r.$$

Следовательно,

$$P_{ABC}=AB+(AD+r)+(BD+r)=AB+(AD+BD)+2r.$$

Так как $$AD+BD=AB=26$$, получаем

$$P_{ABC}=26+26+2\cdot 4=60\text{ см}.$$

б)

Пусть $$AD=5\text{ см}$$, $$DB=12\text{ см}$$. Тогда

$$AB=AD+DB=5+12=17\text{ см}.$$

По свойству касательных:

$$AF=AD=5\text{ см},\quad BE=BD=12\text{ см}.$$

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Тогда

$$AC=AF+FC=5+r,$$
$$BC=BE+EC=12+r.$$

Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:

$$(5+r)^2+(12+r)^2=17^2.$$

Раскроем скобки:

$$25+10r+r^2+144+24r+r^2=289,$$
$$2r^2+34r-120=0,$$
$$r^2+17r-60=0.$$

Решая уравнение, получаем:

$$r=3\text{ см}$$

(второй корень отрицательный, он не подходит).

Тогда

$$AC=5+3=8\text{ см},\quad BC=12+3=15\text{ см}.$$

Периметр:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=17+15+8=40\text{ см}.$$

Ответ: а) $$60\text{ см}$$; б) $$40\text{ см}$$.