Упр.692 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.
2. В треугольник $$ABC$$ вписана окружность, которая касается сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ в точках $$P$$, $$Q$$ и $$R$$. Найдите $$AP$$, $$PB$$, $$BQ$$, $$QC$$, $$CR$$, $$RA$$, если $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$, $$CA=5\text{ см}$$.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника: $$P\in AB,$$ $$Q\in BC,$$ $$R\in CA.$$

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AP=AR,$$ $$BP=BQ,$$ $$CQ=CR.$$

Тогда

$$AB=AP+PB,$$ $$BC=BQ+QC,$$ $$CA=CR+RA.$$

Обозначим $$AP=AR=x,$$ $$PB=BQ=y,$$ $$QC=CR=z.$$ Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} x+y=10,\\ y+z=12,\\ z+x=5. \end{cases}$$

Сложим все три уравнения:

$$2(x+y+z)=10+12+5=27,$$

откуда

$$x+y+z=13{,}5.$$

Теперь найдём каждую величину:

$$x=13{,}5-(y+z)=13{,}5-12=1{,}5,$$

$$y=13{,}5-(z+x)=13{,}5-5=8{,}5,$$

$$z=13{,}5-(x+y)=13{,}5-10=3{,}5.$$

Следовательно,

$$AP=AR=1{,}5\text{ см},$$ $$PB=BQ=8{,}5\text{ см},$$ $$QC=CR=3{,}5\text{ см}.$$

Ответ: $$AP=AR=1{,}5\text{ см},\; PB=BQ=8{,}5\text{ см},\; QC=CR=3{,}5\text{ см}.$$