Упр.691 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2:5; б) 3 : 7; в) 4 : 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Пусть на отрезке $$AB$$ нужно отметить точку $$X$$ так, чтобы $$AX:XB=m:n$$. Тогда весь отрезок удобно разделить на $$m+n$$ равных частей и через соответствующую точку провести прямую, параллельную одной из сторон построенного угла.
а) Для отношения $$2:5$$ делим вспомогательный луч на $$2+5=7$$ равных частей. Через 5-ю точку проводим прямую, параллельную прямой, соединяющей конец 7-го отрезка с точкой $$B$$. Точка пересечения с $$AB$$ делит его в отношении $$2:5$$.
б) Для отношения $$3:7$$ делим вспомогательный луч на $$3+7=10$$ равных частей. Через 7-ю точку проводим прямую, параллельную прямой, соединяющей конец 10-го отрезка с точкой $$B$$. Получаем деление отрезка $$AB$$ в отношении $$3:7$$.
в) Для отношения $$4:3$$ делим вспомогательный луч на $$4+3=7$$ равных частей. Через 3-ю точку проводим прямую, параллельную прямой, соединяющей конец 7-го отрезка с точкой $$B$$. Получаем деление отрезка $$AB$$ в отношении $$4:3$$.
Теперь решим вторую задачу.
Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ вписанная окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$E$$, причём $$AE=3$$ см, $$EB=4$$ см. Тогда
$$AB=AE+EB=3+4=7\text{ см}.$$
Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC$$, значит
$$BC=7\text{ см}.$$
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем
$$AK=AE=3\text{ см},$$
где $$K$$ — точка касания окружности со стороной $$AC$$.
В равнобедренном треугольнике высота из вершины $$B$$ к основанию $$AC$$ является также медианой, поэтому $$K$$ — середина основания и
$$KC=AK=3\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=AK+KC=3+3=6\text{ см}.$$
Следовательно, периметр треугольника равен
$$P_{ABC}=AB+BC+AC=7+7+6=20\text{ см}.$$
Ответ: $$20\text{ см}$$.
