Упр.690 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Разделите данный отрезок $$\mathrm{АВ}$$ на два отрезка $$\mathrm{АХ}$$ и $$\mathrm{ХВ}$$, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$.
2. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении $$12:5$$, считая от вершины, а боковая сторона равна $$60\ \text{см}$$.

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC$$, вершину — $$B$$, а центр вписанной окружности — $$O$$. Пусть высота $$BH$$ проведена к основанию $$AC$$.

Так как треугольник равнобедренный, то $$BH$$ является одновременно высотой, медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $$O$$ лежит на $$BH$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$BMO$$, где $$M$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Они подобны, так как

$$\angle BHA=\angle BMO=90^\circ,$$

а также $$\angle ABH=\angle MBO$$, поскольку $$BH$$ — биссектриса угла при вершине $$B$$, а $$BO$$ лежит на этой биссектрисе.

Из подобия получаем:

$$\frac{AH}{OM}=\frac{BH}{BM}=\frac{AB}{BO}.$$

По условию $$BO:OH=12:5$$, значит можно положить

$$BO=12x,\qquad OH=5x,$$

тогда

$$BH=BO+OH=17x.$$

Из подобия треугольников также имеем

$$\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{BO}=\frac{5x}{12x}=\frac{5}{12}.$$

Так как $$AB=60$$ см, то

$$AH=60\cdot \frac{5}{12}=25\text{ см}.$$

В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам, значит

$$AC=2AH=2\cdot 25=50\text{ см}.$$

Ответ: $$50$$ см.