Упр.689 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 204 показано, как можно определить ширину $$\mathrm{ВВ}_1$$ реки, рассматривая два подобных треугольника $$\mathrm{ABC}$$ и $$\mathrm{АВ}_1\mathrm{С}_1$$. Определите $$\mathrm{ВВ}_1$$, если $$\mathrm{АС}=100\ м$$, $$\mathrm{АС}_1=32\ м$$, $$\mathrm{АВ}_1=34\ м$$.
2. В равнобедренном треугольнике основание равно $$10\ см$$, а боковая сторона равна $$13\ см$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle BMO$$. У них

$$\angle BMO=\angle BKA=90^\circ,$$

а угол $$\angle ABM$$ общий, значит, $$\triangle ABM \sim \triangle BMO$$.

Отсюда

$$\frac{BK}{BM}=\frac{AK}{MO}=\frac{AB}{BO}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABK$$:

$$AB^2=AK^2+BK^2,$$

$$13^2=5^2+BK^2,$$

$$169=25+BK^2,$$

$$BK^2=144,\quad BK=12.$$

Так как $$OB=BK-r,$$ то

$$OB=12-r.$$

Из подобия треугольников получаем

$$\frac{AK}{OM}=\frac{AB}{BO},$$

то есть

$$\frac{5}{r}=\frac{13}{12-r}.$$

Решим уравнение:

$$5(12-r)=13r,$$

$$60-5r=13r,$$

$$18r=60,$$

$$r=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$3\frac{1}{3}\text{ см}.$$