Упр.684 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ выполняется равенство $$AC^2+BC^2=AB^2$$.
2. Биссектрисы углов при основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Докажите, что прямая $$CM$$ перпендикулярна к прямой $$AB$$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AB$$ биссектрисы углов при основании пересекаются в точке $$M$$. Обозначим через $$AA_1$$ и $$BB_1$$ эти биссектрисы, тогда $$AA_1 \cap BB_1 = M$$.

Точка $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, значит она равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$. Точка $$M$$ лежит и на биссектрисе угла $$B$$, значит она равноудалена от сторон $$BA$$ и $$BC$$.

Следовательно, точка $$M$$ равноудалена от прямых $$AC$$ и $$BC$$. Значит, $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, то есть прямая $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$CM \perp AB.$$

Ответ: $$CM \perp AB$$.