Упр.683 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике, стороны которого равны $$5\ \text{см}$$, $$12\ \text{см}$$ и $$13\ \text{см}$$, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
2. Докажите, что если в треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB$$ и $$AC$$ не равны, то медиана $$AM$$ треугольника не является высотой.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB \ne AC$$, а $$AM$$ — медиана, то есть $$M$$ — середина стороны $$BC$$.

Предположим, что $$AM \perp BC$$. Тогда треугольники $$AMC$$ и $$AMB$$ прямоугольные, причём

$$CM=MB$$

как отрезки, на которые медиана делит сторону $$BC$$.

В прямоугольных треугольниках $$AMC$$ и $$AMB$$ имеем:

$$AM$$ — общая сторона, $$CM=MB$$, значит, $$\triangle AMC \cong \triangle AMB$$ по катету и гипотенузе.

Отсюда следует, что

$$AC=AB,$$

что противоречит условию $$AB \ne AC$$.

Следовательно, предположение неверно, и $$AM$$ не может быть высотой, то есть $$AM \not\perp BC$$.

Ответ: медиана $$AM$$ не является высотой.