Упр.682 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на $$11\text{ см}$$ больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как $$6:5$$.
Равнобедренные треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ имеют общее основание $$AB$$. Докажите, что прямая $$CD$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$AC=BC$$, значит точка $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$. Аналогично, из равнобедренности треугольника $$ABD$$ следует $$AD=DB$$, поэтому точка $$D$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$.

Через две точки $$C$$ и $$D$$ проходит единственная прямая, значит прямая $$CD$$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$. Следовательно, она пересекает $$AB$$ в его середине и перпендикулярна ему.

Значит, $$CD$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.