Упр.681 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $$3:4$$, а гипотенуза равна $$50\ \text{мм}$$. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.
2. Серединный перпендикуляр к стороне $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Найдите основание $$AC$$, если периметр треугольника $$AEC$$ равен $$27\ \text{см}$$, а $$AB=18\ \text{см}$$.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$3x$$ и $$4x$$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна

$$(3x)^2+(4x)^2=50^2$$

$$9x^2+16x^2=2500$$

$$25x^2=2500$$

$$x^2=100,\quad x=10$$

Следовательно, катеты равны $$30$$ мм и $$40$$ мм.

Для высоты, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе, верны формулы:

$$AD=\frac{AC^2}{AB},\qquad BD=\frac{BC^2}{AB}$$

Тогда

$$AD=\frac{30^2}{50}=\frac{900}{50}=18\text{ мм}$$

$$BD=\frac{40^2}{50}=\frac{1600}{50}=32\text{ мм}$$

Проверка: $$18+32=50$$, значит, вычисления верны.

Ответ

$$18\text{ мм}$$ и $$32\text{ мм}$$.