Упр.680 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что: а) $$h=\frac{ab}{c}$$; б) $$\frac{a^2}{ac}=\frac{b^2}{bc}$$.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$D$$. Докажите, что: а) точка $$D$$ — середина стороны $$BC$$; б) $$\angle A=\angle B+\angle C$$.

Пусть $$H$$ — основание высоты $$CH$$ треугольника $$ABC$$, тогда $$CH=h$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 ab$$

и

$$S_{ABC}=\frac12 ch.$$

Следовательно,

$$\frac12 ab=\frac12 ch,$$

откуда

$$ab=ch,$$

значит,

$$h=\frac{ab}{c}.$$

Теперь докажем второе равенство. Из первого результата получаем:

$$a=\sqrt{a_c\cdot c},$$

откуда

$$a^2=a_c\cdot c,$$

значит,

$$c=\frac{a^2}{a_c}.$$

Аналогично:

$$b=\sqrt{b_c\cdot c},$$

откуда

$$b^2=b_c\cdot c,$$

значит,

$$c=\frac{b^2}{b_c}.$$

Так как обе дроби равны $$c$$, то

$$\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.$$

Ответ: $$h=\frac{ab}{c},\ \frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.$$