Упр.678 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите: а) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$bc=25$$, $$ac=16$$; б) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$bc=36$$, $$ac=64$$; в) $$a$$, $$c$$ и $$ac$$, если $$b=12$$, $$bc=6$$; г) $$b$$, $$c$$ и $$bc$$, если $$a=8$$, $$ac=4$$; д) $$h$$, $$b$$, $$ac$$ и $$bc$$, если $$a=6$$, $$c=9$$.
- Биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы $$\angle ACM$$ и $$\angle BCM$$, если: а) $$\angle AMB=136^\circ$$; б) $$\angle AMB=111^\circ$$.
Пусть $$M$$ — точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Тогда $$M$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, значит, прямая $$CM$$ тоже является биссектрисой угла $$C$$. Поэтому
$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{\angle C}{2}.$$
Рассмотрим треугольник $$AMB$$. В нём
$$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-\angle AMB.$$
Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle A=2\angle BAM,\qquad \angle B=2\angle ABM.$$
Тогда
$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-2(\angle BAM+\angle ABM).$$
Но $$\angle BAM+\angle ABM=180^\circ-\angle AMB$$, значит
$$\angle C=180^\circ-2(180^\circ-\angle AMB)=2\angle AMB-180^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{2\angle AMB-180^\circ}{2}=\angle AMB-90^\circ.$$
Теперь подставим данные.
а) $$\angle AMB=136^\circ$$, тогда
$$\angle ACM=\angle BCM=136^\circ-90^\circ=46^\circ.$$
б) $$\angle AMB=111^\circ$$, тогда
$$\angle ACM=\angle BCM=111^\circ-90^\circ=21^\circ.$$
Ответ
а) $$\angle ACM=\angle BCM=46^\circ$$; б) $$\angle ACM=\angle BCM=21^\circ$$.
