Упр.677 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площадь треугольника $$ABO$$ равна $$S$$.
- Биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что точка $$O$$ является центром окружности, касающейся прямых $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$.
Пусть $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$.
Тогда точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$
Обозначим через $$S_{XYZ}$$ площадь треугольника $$XYZ$$.
Так как треугольники $$ABO$$ и $$ABA_1$$ имеют общую высоту из вершины $$B$$ к прямой $$AA_1$$, то их площади относятся как соответствующие основания:
$$\frac{S_{ABO}}{S_{ABA_1}}=\frac{AO}{OA_1}=2.$$
Значит,
$$S_{ABA_1}=\frac{S_{ABO}}{2}=\frac{S}{2}.$$
Аналогично, из отношения $$\frac{BO}{OB_1}=2$$ получаем
$$S_{AOB_1}=\frac{S_{AOB}}{2}=\frac{S}{2}.$$
Треугольник $$ABC$$ состоит из треугольников $$ABA_1$$, $$AOB$$ и $$A_1OC$$, причём
$$S_{A_1OC}=S_{ABA_1}=\frac{S}{2}$$
как равновеликие треугольники с одинаковыми основаниями и высотами, соответствующими медиане.
Тогда
$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{AOB}+S_{A_1OC} =\frac{S}{2}+S+\frac{S}{2}=3S.$$
Ответ: $$3S$$.
