Упр.676 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года.
Диагональ $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ равна $$18\text{ см}$$. Середина $$M$$ стороны $$AB$$ соединена с вершиной $$D$$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $$AC$$ отрезком $$DM$$. - Задание учебника 2023 года.
Стороны угла $$A$$ касаются окружности с центром $$O$$ радиуса $$r$$. Найдите:
а) $$OA$$, если $$r=5\text{ см}$$, $$\angle A=60^\circ$$;
б) $$r$$, если $$OA=14\text{ дм}$$, $$\angle A=90^\circ$$.
а) Так как стороны угла $$A$$ касаются окружности, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим сторонам. Следовательно, $$OA$$ — биссектриса угла $$A$$, значит
$$\angle BAO=\angle OAC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. В нём $$OB=r=5$$ см, а угол при $$A$$ равен $$30^\circ$$. Тогда гипотенуза вдвое больше противолежащего катета:
$$OA=2\cdot OB=2\cdot 5=10\text{ см}.$$
б) Аналогично, $$OA$$ — биссектриса угла $$A$$, поэтому
$$\angle BAO=\angle OAC=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$
Треугольник $$AOB$$ прямоугольный, и
$$\angle BOA=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому $$AB=BO=r$$. По теореме Пифагора:
$$OA^2=AB^2+BO^2=r^2+r^2=2r^2.$$
Подставим $$OA=14$$ дм:
$$14^2=2r^2,$$
$$196=2r^2,$$
$$r^2=98,$$
$$r=7\sqrt{2}\text{ дм}.$$
Ответ: а) $$OA=10$$ см; б) $$r=7\sqrt{2}$$ дм.
