Упр.676 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г. Найдите: а) ОА, если r=5см, уголА= 60°; б) r, если ОА = 14 дм, угол A = 90°.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то $$DM$$ — медиана.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит точка пересечения диагоналей является серединой диагонали $$AC$$. Обозначим эту точку через $$E$$. Тогда $$E$$ — середина $$AC$$.

В треугольнике $$ABD$$ отрезок $$BE$$ соединяет вершину $$B$$ с серединой стороны $$AD$$, а $$DM$$ — с серединой стороны $$AB$$. Следовательно, точка пересечения этих медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.

Так как $$AC=18$$ см, то

$$AE=EC=\frac{1}{2}AC=9\text{ см}.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения отрезка $$DM$$ с диагональю $$AC$$. Тогда в треугольнике $$ABD$$ точка $$O$$ — центр тяжести, поэтому

$$AO:OE=2:1.$$

Из $$AE=9$$ см получаем:

$$AO=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\cdot 9=6\text{ см},$$

$$OE=\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}\cdot 9=3\text{ см}.$$

Тогда

$$OC=OE+EC=3+9=12\text{ см}.$$

2) Стороны угла $$A$$ касаются окружности с центром $$O$$, значит радиусы к точкам касания перпендикулярны этим сторонам. Следовательно, $$OA$$ — биссектриса угла $$A$$.

а) Если $$r=5$$ см и $$\angle A=60^\circ$$, то

$$\angle BAO=\angle OAC=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$\sin 30^\circ=\frac{OB}{OA}=\frac{r}{OA}.$$

Отсюда

$$OA=\frac{r}{\sin 30^\circ}=\frac{5}{1/2}=10\text{ см}.$$

б) Если $$OA=14$$ дм и $$\angle A=90^\circ$$, то

$$\angle BAO=\angle OAC=45^\circ.$$

Треугольник $$AOB$$ прямоугольный и равнобедренный, значит $$OB=OA\cdot \sin 45^\circ$$, то есть

$$r=OB=14\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=7\sqrt{2}\text{ дм}.$$