Упр.675 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
2. Стороны угла $$О$$ касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке $$А$$. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой $$ОА$$.

Пусть стороны угла $$O$$ касаются окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ в точках $$B,\ C$$ и $$B_1,\ C_1$$ соответственно, а их общая касательная проходит через точку $$A$$.

Тогда $$BC$$ и $$B_1C_1$$ — касательные к окружностям, значит

$$O_1B \perp BC,\quad O_2C \perp BC,\quad O_1B_1 \perp B_1C_1,\quad O_2C_1 \perp B_1C_1.$$

Следовательно, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ равноудалены от сторон угла $$O$$, то есть лежат на его биссектрисе $$OO_2$$.

По свойству биссектрисы имеем

$$AK=AK_1,$$

откуда точка $$A$$ равноудалена от сторон угла $$O$$. Значит, $$A$$ также лежит на биссектрисе угла $$O$$.

Итак, центры обеих окружностей лежат на прямой $$OA$$.

Ответ

$$O_1 \in OA,\quad O_2 \in OA.$$