Упр.674 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$. Найдите периметр треугольника $$ABC$$, если периметр треугольника $$APQ$$ равен $$21\text{ см}$$.
2. Из точки $$M$$ биссектрисы неразвёрнутого угла $$O$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ к сторонам этого угла. Докажите, что $$AB \perp OM$$.

Поскольку $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, то

$$AP=PB,\qquad AQ=QC.$$

Следовательно,

$$AB=2AP,\qquad AC=2AQ.$$

Отрезок $$PQ$$ соединяет середины двух сторон треугольника $$ABC$$, значит, $$PQ$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$PQ=\frac{1}{2}BC,\qquad BC=2PQ.$$

Треугольники $$APQ$$ и $$ABC$$ подобны, причём коэффициент подобия равен $$2$$. Поэтому их периметры относятся так же:

$$P_{ABC}=2P_{APQ}.$$

Подставим значение:

$$P_{ABC}=2\cdot 21=42\text{ см}.$$

Ответ: $$42\text{ см}$$.