Упр.670 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ равна $$a$$, а высота $$CH$$ равна $$h$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $$ABC$$ так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне $$AB$$, а две другие — соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$.
2. Через точку $$A$$ проведены касательная $$AB$$ ($$B$$ — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках $$P$$ и $$Q$$. Докажите, что $$AB^2=AP\cdot AQ$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle NCF$$, где $$MNFE$$ — квадрат, $$MN \parallel AB$$.

Так как $$NF \parallel AB$$, а $$CA$$ — секущая, то

$$\angle CNF=\angle CAB$$

как соответственные углы. Кроме того, угол $$C$$ у треугольников общий. Значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle NCF$$

по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{NF}=\frac{CH}{CQ}$$

Пусть сторона квадрата равна $$x$$. Тогда

$$NF=MN=FE=ME=x,$$

а также

$$CQ=h-x.$$

Подставим в пропорцию:

$$\frac{a}{x}=\frac{h}{h-x}$$

Отсюда

$$a(h-x)=hx$$

$$ah-ax=hx$$

$$ah=(a+h)x$$

$$x=\frac{ah}{a+h}$$

Следовательно, сторона квадрата равна

$$MN=\frac{ah}{a+h}.$$