Упр.669 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении $$12:5$$, считая от вершины, а боковая сторона равна $$60\ \text{см}$$.
2. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Обозначим высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, через $$BH$$, а точку пересечения этой высоты с вписанной окружностью — через $$O$$. Тогда $$BO:OH=12:5$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHB$$ и $$\triangle OEB$$. У них:

• $$\angle AHB=\angle OEB=90^\circ$$;
• $$\angle ABH=\angle EBO$$, так как $$BH$$ и $$BO$$ лежат на одной прямой, а $$BE$$ — часть стороны $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle AHB \sim \triangle OEB$$, и потому

$$\frac{AH}{OE}=\frac{AB}{BO}.$$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то расстояния от него до сторон треугольника равны, значит $$OE=OH=r$$. По условию

$$BO:OH=12:5,$$

откуда

$$BO=\frac{12}{5}r.$$

Тогда

$$AH=\frac{OE\cdot AB}{BO}=\frac{r\cdot 60}{\frac{12}{5}r}=60\cdot \frac{5}{12}=25.$$

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому

$$AC=2AH=2\cdot 25=50.$$

Ответ: $$50\text{ см}$$.