Упр.668 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
- Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
Пусть $$AB$$ — диаметр окружности, $$CD$$ — перпендикуляр к нему, $$E$$ — точка пересечения $$AB$$ и $$CD$$.
Так как $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности с центром $$O$$, то
$$CO=OD=r.$$
Следовательно, $$\triangle COD$$ равнобедренный. Поскольку $$AB\perp CD$$, то $$OE$$ — высота треугольника $$COD$$, проведённая к основанию $$CD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, значит
$$CE=ED.$$
По свойству пересекающихся хорд для точек $$A$$, $$E$$, $$B$$ и $$C$$, $$E$$, $$D$$ имеем
$$AE\cdot EB=CE\cdot ED.$$
Так как $$CE=ED$$, то
$$AE\cdot EB=CE^2.$$
Отсюда
$$CE=\sqrt{AE\cdot EB}.$$
Значит, перпендикуляр $$CE$$ является средним пропорциональным для отрезков $$AE$$ и $$EB$$, что и требовалось доказать.
Ответ
$$CE=\sqrt{AE\cdot EB}.$$
