Упр.668 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Подробный ответ

1) Рассмотрим два равносторонних треугольника $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $$60^\circ$$, значит

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ,$$

$$\angle A_1=\angle B_1=\angle C_1=60^\circ.$$

Следовательно, у треугольников попарно равны два угла, поэтому

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по двум углам.

2) Пусть $$AB$$ — диаметр окружности с центром $$O$$, а $$CD \perp AB$$, причём $$E=CD\cap AB$$.

Так как $$O$$ — центр окружности, то

$$OC=OD=r,$$

следовательно, $$\triangle COD$$ равнобедренный.

Поскольку $$AB \perp CD$$, то $$OE \perp CD$$, значит $$OE$$ — высота треугольника $$COD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому

$$CE=ED.$$

По свойству хорд окружности для пересекающихся хорд $$AB$$ и $$CD$$ имеем

$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$

Так как $$CE=ED$$, то

$$AE \cdot EB = CE^2,$$

откуда

$$CE=\sqrt{AE\cdot EB}.$$