Упр.667 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Подобны ли треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, если:
а) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=5\text{ см}$$, $$CA=7\text{ см}$$, $$A_1B_1=4{,}5\text{ см}$$, $$B_1C_1=7{,}5\text{ см}$$, $$C_1A_1=10{,}5\text{ см}$$;
б) $$AB=1{,}7\text{ см}$$, $$BC=3\text{ см}$$, $$CA=4{,}2\text{ см}$$, $$A_1B_1=34\text{ дм}$$, $$B_1C_1=60\text{ дм}$$, $$C_1A_1=84\text{ дм}$$?
Диаметр $$AA_1$$ окружности перпендикулярен к хорде $$BB_1$$ и пересекает её в точке $$C$$. Найдите $$BB_1$$, если $$AC=4\text{ см}$$, $$CA_1=8\text{ см}$$.

Подробный ответ

Решение

а) Сравним отношения соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{5}{7{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{7}{10{,}5}=\frac{2}{3}.$$

Все три отношения равны, значит, треугольники подобны по трём сторонам:

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$

б) Переведём длины в одинаковые единицы измерения:

$$A_1B_1=34\text{ дм}=340\text{ см},\quad B_1C_1=60\text{ дм}=600\text{ см},\quad C_1A_1=84\text{ дм}=840\text{ см}.$$

Найдём отношения сторон:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1{,}7}{340}=\frac{1}{200},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{3}{600}=\frac{1}{200},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{4{,}2}{840}=\frac{1}{200}.$$

Все три отношения равны, следовательно, треугольники подобны по трём сторонам:

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$