Упр.665 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены параллельными прямыми $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, причём точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$a$$, а точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — на прямой $$b$$. Докажите, что $$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.
2. Вершины треугольника $$ABC$$ лежат на окружности. Докажите, что если $$AB$$ — диаметр окружности, то $$\angle C > \angle A$$ и $$\angle C > \angle B$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, равен половине соответствующего центрального угла:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и его острые углы удовлетворяют равенству

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике каждый острый угол меньше $$90^\circ$$, поэтому

$$\angle A<90^\circ,\qquad \angle B<90^\circ.$$

Кроме того, в треугольнике сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle C=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, $$\angle C$$ больше каждого из острых углов треугольника:

$$\angle C>\angle A,\qquad \angle C>\angle B.$$

Ответ

$$\angle C>\angle A,\ \angle C>\angle B.$$