Упр.665 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямые а и b пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ1, СС1, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А1, B1 и С1 — на прямой b. Докажите, что AB/BC=A1B1/B1C1. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то уголC > уголA и уголC > уголB.

1) Построим прямую $$c$$, параллельную прямым $$a$$ и $$b$$, так, чтобы точки $$A$$, $$B_2$$, $$C_2$$ лежали на $$c$$.

Тогда $$\angle A$$ — общий для треугольников $$\triangle ABB_2$$ и $$\triangle ACC_2$$, а $$\angle ABB_2 = \angle ACC_2$$ как соответственные углы при параллельных прямых. Значит, $$\triangle ABB_2 \sim \triangle ACC_2$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{AB}{AB_2}=\frac{BC}{B_2C_2}.$$

2) Четырёхугольник $$AC_2C_1A_1$$ — параллелограмм, так как $$AA_1 \parallel CC_2$$ и $$AC_2 \parallel A_1C_1$$.

Следовательно, $$AB_2 = A_1B_1$$ и $$B_2C_2 = B_1C_1$$.

Подставляя это в полученное отношение, имеем

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1},$$

что и требовалось доказать.

3) Пусть вершины треугольника $$ABC$$ лежат на окружности, а $$AB$$ — диаметр этой окружности. Тогда по теореме о вписанном угле

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A<90^\circ$$ и $$\angle B<90^\circ$$, а так как $$\angle C=90^\circ$$, то

$$\angle C>\angle A,\qquad \angle C>\angle B.$$

Ответ

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1};\qquad \angle C>\angle A,\ \angle C>\angle B.$$